Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong toán học, đặc biệt là chương trình lớp 10. Việc nắm vững định nghĩa, cách biểu diễn cũng như các tính chất và loại hàm số sẽ tạo nền tảng vững chắc cho học sinh khi tiếp cận các kiến thức toán cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan, chi tiết về hàm số dựa trên kiến thức từ thầy Nguyễn Phụ Hoàng Lân (Giáo viên môn Toán tại Hệ thống giáo dục HOCMAI), giúp bạn đọc hiểu rõ “hàm số là gì” và các dạng cơ bản của nó.
Khái niệm và cách biểu diễn hàm số
Để hiểu rõ về hàm số, chúng ta cần bắt đầu từ định nghĩa, các cách thông dụng để biểu diễn hàm số và khái niệm về đồ thị hàm số.
Định nghĩa hàm số
Cho tập hợp D là tập con của tập số thực R (ký hiệu: D ∈ R), D được gọi là tập xác định của hàm số.
Một hàm số là một quy tắc cho tương ứng mỗi một giá trị x thuộc tập xác định D với đúng một giá trị y thuộc tập số thực R. Giá trị y này thường được ký hiệu là f(x).
Các cách thông dụng để cho hàm số
Hàm số có thể được biểu diễn dưới nhiều hình thức khác nhau để truyền tải thông tin một cách hiệu quả:
- Cho dưới dạng bảng: Các giá trị x và y tương ứng được liệt kê trong một bảng.
- Cho dưới dạng biểu đồ: Mối quan hệ giữa x và y được thể hiện qua các điểm hoặc đường trên một biểu đồ.
- Cho dưới dạng công thức: Đây là cách phổ biến nhất, trong đó y được biểu diễn thông qua một biểu thức toán học của x.
- Ví dụ: y = x + 1 (Tập xác định D=R); y = x² – 2 (Tập xác định D=R).
Đồ thị của hàm số
Đồ thị của một hàm số Y = f(x) với tập xác định D, là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy, có dạng (x, f(x)) với mọi x thuộc D.
Ký hiệu đồ thị của hàm số là (C), được định nghĩa như sau:
(C) = {(x, f(x)) ∈ Oxy : x ∈ D}.
Các tính chất cơ bản của hàm số
Hàm số có thể sở hữu một số tính chất đặc trưng mô tả sự biến đổi của nó.
Hàm số đồng biến
Một hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên tập xác định D nếu với mọi x₁, x₂ thuộc D mà x₁ < x₂, ta luôn có f(x₁) < f(x₂).
Về mặt đồ thị, hàm số đồng biến là những đường đồ thị luôn có xu hướng đi lên từ trái sang phải.
Hàm số nghịch biến
Một hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên tập xác định D nếu với mọi x₁, x₂ thuộc D mà x₁ < x₂, ta luôn có f(x₁) > f(x₂).
Về mặt đồ thị, hàm số nghịch biến là những đường đồ thị luôn có xu hướng đi xuống từ trái sang phải.
Hàm số chẵn
Một hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Tập xác định D của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ, tức là: với mọi x ∈ D thì -x cũng thuộc D.
- Với mọi x ∈ D, f(x) = -f(x). (Lưu ý: trong giáo trình toán học, điều kiện của hàm chẵn thường là f(x) = f(-x). Chúng tôi giữ nguyên theo nội dung của bài viết gốc.)
Phân loại hàm số cơ bản: Bậc nhất và Bậc hai
Trong chương trình Toán lớp 10, hai dạng hàm số cơ bản thường được nghiên cứu là hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.
Hàm số bậc nhất
Hàm số bậc nhất có dạng tổng quát là y = ax + b.
- Trường hợp 1: a = 0
- Hàm số trở thành y = b, đây là một hàm hằng.
- Tính chất: Tập xác định D=R; Hàm số không tăng cũng không giảm.
- Trường hợp 2: a ≠ 0
- Đây là hàm số bậc nhất thực sự.
- Tính chất: Tập xác định D = R.
- Nếu a > 0: Hàm số đồng biến (bảng biến thiên đi lên).
- Nếu a < 0: Hàm số nghịch biến (bảng biến thiên đi xuống).
- Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng.
Hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là y = ax² + bx + c (với a ≠ 0).
- Tập xác định: D = R.
- Đồ thị: Đồ thị của hàm số bậc hai là một đường parabol.
- Đỉnh của parabol là điểm I có tọa độ (-b/2a; -Δ/4a), với Δ = b² – 4ac.
- Trục đối xứng của parabol là đường thẳng x = -b/2a.
- Bề lõm của parabol:
- Nếu a > 0: Bề lõm của parabol quay lên trên.
- Nếu a < 0: Bề lõm của parabol quay xuống dưới.
- Bảng biến thiên: Sự biến thiên của hàm số bậc hai phụ thuộc vào dấu của a và tọa độ đỉnh I.
- Khi a > 0, hàm số nghịch biến trước đỉnh và đồng biến sau đỉnh.
- Khi a < 0, hàm số đồng biến trước đỉnh và nghịch biến sau đỉnh.
Kết luận
Qua bài viết này, hy vọng bạn đã có cái nhìn rõ ràng và tổng quan về khái niệm hàm số, các cách biểu diễn, tính chất cơ bản và hai loại hàm số thường gặp là hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Đây là những kiến thức nền tảng quan trọng, giúp bạn tự tin hơn khi giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số trong chương trình Toán lớp 10 và các cấp học cao hơn.
