Chào mừng các bạn học sinh lớp 6, quý phụ huynh và thầy cô giáo đến với chuyên đề so sánh lũy thừa lớp 6 – một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất trong chương trình Toán học bậc THCS. Lũy thừa với số mũ tự nhiên là khái niệm cơ bản mà các bạn được làm quen từ đầu năm học, và việc thành thạo cách so sánh các lũy thừa sẽ mở ra cánh cửa giải quyết nhiều dạng bài tập phức tạp hơn, đồng thời rèn luyện tư duy logic và kỹ năng biến đổi toán học.
Chủ đề so sánh lũy thừa không chỉ xuất hiện trong các bài kiểm tra định kỳ mà còn là công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến số học, đại số sau này. Để giúp các bạn nắm vững kiến thức này một cách toàn diện và hiệu quả nhất, bài viết dưới đây của lvt.edu.vn sẽ tổng hợp đầy đủ lý thuyết, các phương pháp giải chi tiết cùng với các dạng bài tập so sánh lũy thừa lớp 6 có lời giải minh họa cụ thể. Mời các bạn cùng tham khảo và ôn luyện để đạt được kết quả tốt nhất trong học tập!
Lý thuyết về lũy thừa cần nắm vững
Trước khi đi sâu vào các phương pháp so sánh hai lũy thừa lớp 6, chúng ta cần ôn lại một số khái niệm và quy tắc cơ bản về lũy thừa với số mũ tự nhiên.
1. Định nghĩa lũy thừa:
Lũy thừa bậc $n$ của số tự nhiên $a$ là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$.
Kí hiệu: $a^n$ (đọc là “a mũ n” hoặc “a lũy thừa n”).
Trong đó:
- $a$ là cơ số
- $n$ là số mũ tự nhiên ($n ne 0$).
Ví dụ: $2^3 = 2 times 2 times 2 = 8$.
Quy ước:
- $a^1 = a$
- $a^0 = 1$ (với $a ne 0$; $0^0$ không xác định hoặc tùy ngữ cảnh)
2. Các phép tính cơ bản với lũy thừa:
- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số:
Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.
Công thức: $a^m times a^n = a^{m+n}$ (với $a ne 0, m, n in mathbb{N}$)
Ví dụ: $2^3 times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$. - Chia hai lũy thừa cùng cơ số:
Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của số bị chia trừ đi số mũ của số chia.
Công thức: $a^m : a^n = a^{m-n}$ (với $a ne 0, m, n in mathbb{N}, m ge n$)
Ví dụ: $5^7 : 5^4 = 5^{7-4} = 5^3 = 125$.
Nắm vững các kiến thức này là nền tảng để các bạn có thể thực hiện tốt các dạng bài toán so sánh hai lũy thừa lớp 6.
Các phương pháp so sánh hai lũy thừa lớp 6
Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. Ngoài ra, trong một số trường hợp đặc biệt, ta có thể sử dụng phương pháp lũy thừa trung gian. Dưới đây là các cách so sánh lũy thừa lớp 6 phổ biến và hiệu quả.
Dạng 1: So sánh lũy thừa cùng cơ số
Đây là dạng cơ bản nhất trong các phương pháp so sánh hai lũy thừa toán 6.
Quy tắc:
Nếu hai lũy thừa có cùng cơ số lớn hơn 1, thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.
Nếu $a > 1$ thì $a^m > a^n Leftrightarrow m > n$.
Nếu $a = 1$ thì $1^m = 1^n = 1$ với mọi $m, n$.
Nếu $0 < a < 1$ thì $a^m > a^n Leftrightarrow m < n$. (Lưu ý: Trường hợp này ít gặp trong chương trình lớp 6, chủ yếu tập trung vào cơ số là số tự nhiên lớn hơn 1).
Ví dụ 1: So sánh $2^5$ và $2^8$.
- Hướng dẫn giải: Hai lũy thừa này có cùng cơ số là 2 (lớn hơn 1). Ta chỉ cần so sánh số mũ.
- Lời giải:
Ta có: $2^5$ và $2^8$ có cùng cơ số là $2 > 1$.
Vì $5 < 8$ nên $2^5 < 2^8$.
Kết luận: $2^5 < 2^8$.
Ví dụ 2: So sánh $7^{15}$ và $7^{12}$.
- Hướng dẫn giải: Tương tự như trên, so sánh các số mũ.
- Lời giải:
Ta có: $7^{15}$ và $7^{12}$ có cùng cơ số là $7 > 1$.
Vì $15 > 12$ nên $7^{15} > 7^{12}$.
Kết luận: $7^{15} > 7^{12}$.
Dạng 2: So sánh lũy thừa khác cơ số
Đây là dạng phức tạp hơn và đòi hỏi các bạn phải vận dụng các phép biến đổi lũy thừa. Có hai phương pháp chính cho dạng này.
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số
Cách làm: Biến đổi các lũy thừa để chúng có cùng một cơ số. Điều này thường được thực hiện bằng cách viết cơ số dưới dạng lũy thừa của một số khác, hoặc phân tích cơ số thành các thừa số nguyên tố.
Quy tắc: $A^m$ và $B^n$ (Nếu ta có thể đưa về $C^x$ và $C^y$).
Nếu $C > 1$, thì $C^x > C^y Leftrightarrow x > y$.
Ví dụ 3: So sánh $27^5$ và $3^{12}$.
- Hướng dẫn giải: Nhận thấy $27 = 3^3$. Ta có thể đưa $27^5$ về cơ số 3.
- Lời giải:
Ta có: $27^5 = (3^3)^5 = 3^{3 times 5} = 3^{15}$.
Bây giờ, ta cần so sánh $3^{15}$ và $3^{12}$.
Hai lũy thừa này có cùng cơ số là $3 > 1$.
Vì $15 > 12$ nên $3^{15} > 3^{12}$.
Vậy $27^5 > 3^{12}$.
Kết luận: $27^5 > 3^{12}$.
Ví dụ 4: So sánh $125^4$ và $5^{10}$.
- Hướng dẫn giải: Nhận thấy $125 = 5^3$. Ta đưa $125^4$ về cơ số 5.
- Lời giải:
Ta có: $125^4 = (5^3)^4 = 5^{3 times 4} = 5^{12}$.
Bây giờ, ta cần so sánh $5^{12}$ và $5^{10}$.
Hai lũy thừa này có cùng cơ số là $5 > 1$.
Vì $12 > 10$ nên $5^{12} > 5^{10}$.
Vậy $125^4 > 5^{10}$.
Kết luận: $125^4 > 5^{10}$.
Phương pháp 2: Đưa về cùng số mũ
Cách làm: Biến đổi các lũy thừa để chúng có cùng một số mũ. Điều này thường được thực hiện bằng cách tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các số mũ, hoặc bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các số mũ để đưa về một số mũ chung.
Quy tắc: $A^m$ và $B^n$ (Nếu ta có thể đưa về $X^k$ và $Y^k$).
Nếu $k > 0$, thì $X^k > Y^k Leftrightarrow X > Y$.
Ví dụ 5: So sánh $3^{200}$ và $2^{300}$.
- Hướng dẫn giải: Các số mũ 200 và 300 có ƯCLN là 100. Ta sẽ đưa về cùng số mũ 100.
- Lời giải:
Ta có:
$3^{200} = 3^{2 times 100} = (3^2)^{100} = 9^{100}$.
$2^{300} = 2^{3 times 100} = (2^3)^{100} = 8^{100}$.
Bây giờ, ta cần so sánh $9^{100}$ và $8^{100}$.
Hai lũy thừa này có cùng số mũ là 100.
Vì $9 > 8$ nên $9^{100} > 8^{100}$.
Vậy $3^{200} > 2^{300}$.
Kết luận: $3^{200} > 2^{300}$.
Ví dụ 6: So sánh $5^{30}$ và $3^{50}$.
- Hướng dẫn giải: Các số mũ 30 và 50 có ƯCLN là 10. Ta đưa về cùng số mũ 10.
- Lời giải:
Ta có:
$5^{30} = 5^{3 times 10} = (5^3)^{10} = 125^{10}$.
$3^{50} = 3^{5 times 10} = (3^5)^{10} = 243^{10}$.
Bây giờ, ta cần so sánh $125^{10}$ và $243^{10}$.
Hai lũy thừa này có cùng số mũ là 10.
Vì $125 < 243$ nên $125^{10} < 243^{10}$.
Vậy $5^{30} < 3^{50}$.
Kết luận: $5^{30} < 3^{50}$.
Phương pháp 3: Sử dụng lũy thừa trung gian
Phương pháp này được áp dụng khi không thể trực tiếp đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ một cách dễ dàng. Ta sẽ tìm một lũy thừa thứ ba làm “trung gian” để so sánh. Thông thường, phương pháp này vẫn dẫn đến việc áp dụng “đưa về cùng cơ số” hoặc “đưa về cùng số mũ” sau một bước biến đổi khéo léo.
Cách làm:
- Tìm một số mũ chung (ƯCLN của các số mũ) hoặc cơ số chung (BCNN của các cơ số) mà có thể đưa cả hai lũy thừa về dạng đó.
- Biến đổi hai lũy thừa về dạng mới.
- So sánh hai lũy thừa đã biến đổi.
Ví dụ 7: So sánh $2^{90}$ và $5^{36}$.
- Hướng dẫn giải: Không thể đưa về cùng cơ số. Ta sẽ tìm ƯCLN của các số mũ (90, 36) là 18. Sau đó đưa cả hai lũy thừa về số mũ 18.
- Lời giải:
Ta có:
$90 = 5 times 18$
$36 = 2 times 18$
Khi đó:
$2^{90} = 2^{5 times 18} = (2^5)^{18} = 32^{18}$.
$5^{36} = 5^{2 times 18} = (5^2)^{18} = 25^{18}$.
Bây giờ, ta cần so sánh $32^{18}$ và $25^{18}$.
Hai lũy thừa này có cùng số mũ là 18.
Vì $32 > 25$ nên $32^{18} > 25^{18}$.
Vậy $2^{90} > 5^{36}$.
Kết luận: $2^{90} > 5^{36}$.
Ví dụ 8: So sánh $A = 10^{20}$ và $B = 20^{10}$.
- Hướng dẫn giải: Tìm ƯCLN của các số mũ (20, 10) là 10.
- Lời giải:
Ta có:
$A = 10^{20} = 10^{2 times 10} = (10^2)^{10} = 100^{10}$.
$B = 20^{10}$.
Bây giờ, ta cần so sánh $100^{10}$ và $20^{10}$.
Hai lũy thừa này có cùng số mũ là 10.
Vì $100 > 20$ nên $100^{10} > 20^{10}$.
Vậy $10^{20} > 20^{10}$.
Kết luận: $10^{20} > 20^{10}$.
Bài tập vận dụng về so sánh lũy thừa lớp 6 (có lời giải)
Dưới đây là một số bài tập so sánh lũy thừa lớp 6 từ cơ bản đến nâng cao để các bạn luyện tập và củng cố kiến thức. Hãy thử tự giải trước khi xem lời giải chi tiết nhé!
Bài tập 1: So sánh các cặp lũy thừa sau:
a) $3^{10}$ và $3^7$
b) $11^4$ và $11^6$
c) $2^{10}$ và $2^{12}$
d) $10^{20}$ và $10^{19}$
- Hướng dẫn giải: Đây là các bài toán so sánh lũy thừa cùng cơ số. Chỉ cần so sánh số mũ.
- Lời giải chi tiết:
a) Ta có $3^{10}$ và $3^7$ có cùng cơ số là $3 > 1$. Vì $10 > 7$ nên $3^{10} > 3^7$.
b) Ta có $11^4$ và $11^6$ có cùng cơ số là $11 > 1$. Vì $4 < 6$ nên $11^4 < 11^6$.
c) Ta có $2^{10}$ và $2^{12}$ có cùng cơ số là $2 > 1$. Vì $10 < 12$ nên $2^{10} < 2^{12}$.
d) Ta có $10^{20}$ và $10^{19}$ có cùng cơ số là $10 > 1$. Vì $20 > 19$ nên $10^{20} > 10^{19}$.
Bài tập 2: So sánh các cặp lũy thừa sau bằng cách đưa về cùng cơ số:
a) $8^5$ và $2^{14}$
b) $4^9$ và $8^6$
c) $9^8$ và $3^{16}$
- Hướng dẫn giải: Phân tích các cơ số để tìm một cơ số chung. Ví dụ $8 = 2^3$, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$.
- Lời giải chi tiết:
a) So sánh $8^5$ và $2^{14}$
Ta có $8^5 = (2^3)^5 = 2^{3 times 5} = 2^{15}$.
Bây giờ so sánh $2^{15}$ và $2^{14}$.
Vì $15 > 14$ và cơ số $2 > 1$, nên $2^{15} > 2^{14}$.
Vậy $8^5 > 2^{14}$.
b) So sánh $4^9$ và $8^6$
Ta có $4^9 = (2^2)^9 = 2^{2 times 9} = 2^{18}$.
Ta có $8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 times 6} = 2^{18}$.
Bây giờ so sánh $2^{18}$ và $2^{18}$.
Vì $2^{18} = 2^{18}$, nên $4^9 = 8^6$.
c) So sánh $9^8$ và $3^{16}$
Ta có $9^8 = (3^2)^8 = 3^{2 times 8} = 3^{16}$.
Bây giờ so sánh $3^{16}$ và $3^{16}$.
Vì $3^{16} = 3^{16}$, nên $9^8 = 3^{16}$.
Bài tập 3: So sánh các cặp lũy thừa sau bằng cách đưa về cùng số mũ:
a) $7^{10}$ và $3^{15}$
b) $2^{40}$ và $5^{20}$
c) $3^{44}$ và $4^{33}$
- Hướng dẫn giải: Tìm ƯCLN của các số mũ để đưa về cùng số mũ chung.
- Lời giải chi tiết:
a) So sánh $7^{10}$ và $3^{15}$
Tìm ƯCLN của $(10, 15)$ là $5$.
Ta có:
$7^{10} = 7^{2 times 5} = (7^2)^5 = 49^5$.
$3^{15} = 3^{3 times 5} = (3^3)^5 = 27^5$.
Bây giờ so sánh $49^5$ và $27^5$.
Vì $49 > 27$ và số mũ $5 > 0$, nên $49^5 > 27^5$.
Vậy $7^{10} > 3^{15}$.
b) So sánh $2^{40}$ và $5^{20}$
Tìm ƯCLN của $(40, 20)$ là $20$.
Ta có:
$2^{40} = 2^{2 times 20} = (2^2)^{20} = 4^{20}$.
$5^{20}$.
Bây giờ so sánh $4^{20}$ và $5^{20}$.
Vì $4 < 5$ và số mũ $20 > 0$, nên $4^{20} < 5^{20}$.
Vậy $2^{40} < 5^{20}$.
c) So sánh $3^{44}$ và $4^{33}$
Tìm ƯCLN của $(44, 33)$ là $11$.
Ta có:
$3^{44} = 3^{4 times 11} = (3^4)^{11} = 81^{11}$.
$4^{33} = 4^{3 times 11} = (4^3)^{11} = 64^{11}$.
Bây giờ so sánh $81^{11}$ và $64^{11}$.
Vì $81 > 64$ và số mũ $11 > 0$, nên $81^{11} > 64^{11}$.
Vậy $3^{44} > 4^{33}$.
Bài tập 4: So sánh $2^{100}$ và $10^{30}$.
- Hướng dẫn giải: Đây là một dạng toán so sánh lũy thừa lớp 6 điển hình mà các bạn có thể áp dụng phương pháp đưa về cùng số mũ. Tìm ƯCLN của $(100, 30)$ là $10$.
- Lời giải chi tiết:
Tìm ƯCLN của các số mũ 100 và 30 là 10.
Ta có:
$2^{100} = 2^{10 times 10} = (2^{10})^{10} = 1024^{10}$.
$10^{30} = 10^{3 times 10} = (10^3)^{10} = 1000^{10}$.
Bây giờ so sánh $1024^{10}$ và $1000^{10}$.
Vì $1024 > 1000$ và số mũ $10 > 0$, nên $1024^{10} > 1000^{10}$.
Vậy $2^{100} > 10^{30}$.
Bài tập 5: So sánh $A = 3^{2023}$ và $B = 7^{1012}$.
- Hướng dẫn giải: Tìm ƯCLN của $(2023, 1012)$. 2023 không chia hết cho 7 hay 3. 2023 = $7 times 17^2$. 1012 = $4 times 253 = 4 times 11 times 23$. Không có ước chung lớn hơn 1.
Trong trường hợp không tìm được ƯCLN lớn hơn 1, ta cần cân nhắc một biến đổi khác hoặc sử dụng một giá trị trung gian.
$3^{2023} = 3 cdot 3^{2022} = 3 cdot (3^2)^{1011} = 3 cdot 9^{1011}$.
$7^{1012} = 7 cdot 7^{1011}$.
So sánh $3 cdot 9^{1011}$ và $7 cdot 7^{1011}$.
Ta thấy $9 > 7$.
Đây là một bài tập nâng cao hơn, đòi hỏi sự linh hoạt trong biến đổi. - Lời giải chi tiết:
So sánh $A = 3^{2023}$ và $B = 7^{1012}$.
Ta biến đổi $A$ và $B$ về cùng một số mũ hoặc cơ số gần nhau.
Ta có $2023 = 2 times 1011 + 1$.
$A = 3^{2023} = 3^{2 times 1011 + 1} = 3^{2 times 1011} times 3^1 = (3^2)^{1011} times 3 = 9^{1011} times 3$.
Ta có $B = 7^{1012} = 7^{1011 + 1} = 7^{1011} times 7^1$.
Bây giờ ta so sánh $3 times 9^{1011}$ và $7 times 7^{1011}$.
Ta biết rằng $9^{1011}$ lớn hơn $7^{1011}$. Cụ thể, $9^{1011} = (frac{9}{7})^{1011} cdot 7^{1011}$.
Vậy $3 cdot (frac{9}{7})^{1011} cdot 7^{1011}$ so với $7 cdot 7^{1011}$.
Chia cả hai vế cho $7^{1011}$ (số dương):
So sánh $3 cdot (frac{9}{7})^{1011}$ và $7$.
Ta thấy $frac{9}{7} approx 1.28$. Một số lớn hơn 1 khi lũy thừa lên số mũ rất lớn sẽ trở nên cực kỳ lớn.
$3 cdot (frac{9}{7})^{1011}$ sẽ lớn hơn 7 rất nhiều (vì $(frac{9}{7})^{1011}$ rất lớn).
Do đó $3 cdot (frac{9}{7})^{1011} > 7$.
Vậy $3^{2023} > 7^{1012}$.
Kết luận
Việc thành thạo các cách so sánh lũy thừa lớp 6 là một kỹ năng quan trọng, giúp các bạn không chỉ giải quyết các bài tập trong sách giáo khoa mà còn làm nền tảng cho những kiến thức Toán học phức tạp hơn. Qua bài viết này, lvt.edu.vn đã tổng hợp các phương pháp chính như đưa về cùng cơ số, đưa về cùng số mũ, và sử dụng lũy thừa trung gian, cùng với các ví dụ và bài tập có lời giải chi tiết.
Để thực sự nắm vững chủ đề này, các bạn cần thường xuyên luyện tập và áp dụng linh hoạt các phương pháp vào các bài toán so sánh hai lũy thừa lớp 6 khác nhau. Hãy luôn ghi nhớ các quy tắc cơ bản về lũy thừa và tìm ra con đường ngắn nhất, hiệu quả nhất để giải quyết bài toán. Chúc các bạn học tập thật tốt và luôn yêu thích môn Toán!
(Nội dung được biên soạn dựa trên chương trình Sách giáo khoa Toán 6)
