Giải Bài Tập So Sánh Phân Số Lớp 6: Lý Thuyết Trọng Tâm & Đáp Án Chi Tiết

So sánh phân số là một trong những kiến thức nền tảng và cực kỳ quan trọng trong chương trình Toán 6, đặc biệt là phần Số học chương III: Phân số. Nắm vững cách so sánh phân số lớp 6 không chỉ giúp các em học sinh giải quyết tốt các bài toán cơ bản mà còn là tiền đề để tiếp thu các kiến thức phức tạp hơn như cộng, trừ, nhân, chia phân số hay giải các bài toán có lời văn liên quan. Chuyên đề này của lvt.edu.vn sẽ cung cấp cho các em học sinh lớp 6 toàn bộ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài tập so sánh phân số lớp 6 thường gặp cùng với lời giải chi tiết, giúp các em tự tin chinh phục mọi thử thách.

I. Lý Thuyết Trọng Tâm Về So Sánh Phân Số Lớp 6

Để so sánh hai hay nhiều phân số, chúng ta cần nắm vững các quy tắc cơ bản sau:

1. So sánh hai phân số cùng mẫu số

• Quy tắc: Trong hai phân số cùng mẫu số dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
• Ví dụ: So sánh $frac{3}{7}$ và $frac{5}{7}$.
  • Vì $3 < 5$ nên $frac{3}{7} < frac{5}{7}$.
• Lưu ý: Nếu phân số có mẫu âm, cần chuyển về mẫu dương trước khi so sánh. Ví dụ: $frac{2}{-5} = frac{-2}{5}$.

2. So sánh hai phân số khác mẫu số

Khi hai phân số không cùng mẫu số, chúng ta có một số cách tiếp cận:

a. Quy đồng mẫu số

• Quy tắc:
  • Bước 1: Quy đồng mẫu số các phân số (biến đổi chúng thành các phân số có cùng mẫu số dương, thường là BCNN của các mẫu số).
  • Bước 2: So sánh các tử số của các phân số đã được quy đồng. Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
• Ví dụ: So sánh $frac{2}{3}$ và $frac{3}{4}$.
  • Mẫu chung nhỏ nhất của 3 và 4 là 12.
  • $frac{2}{3} = frac{2 times 4}{3 times 4} = frac{8}{12}$.
  • $frac{3}{4} = frac{3 times 3}{4 times 3} = frac{9}{12}$.
  • Vì $8 < 9$ nên $frac{8}{12} < frac{9}{12}$, vậy $frac{2}{3} < frac{3}{4}$.

b. Quy đồng tử số

• Quy tắc: Trong hai phân số có cùng tử số dương, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn.
• Ví dụ: So sánh $frac{5}{12}$ và $frac{5}{9}$.
  • Vì $12 > 9$ nên $frac{5}{12} < frac{5}{9}$. (Mẫu càng lớn, phần chia càng nhỏ).
• Lưu ý: Chỉ áp dụng khi tử số là số dương.

3. So sánh phân số với số 1

• Nếu tử số nhỏ hơn mẫu số (và cả tử và mẫu đều dương) thì phân số nhỏ hơn 1. Ví dụ: $frac{3}{5} < 1$.
• Nếu tử số lớn hơn mẫu số (và cả tử và mẫu đều dương) thì phân số lớn hơn 1. Ví dụ: $frac{7}{4} > 1$.
• Nếu tử số bằng mẫu số (và cả tử và mẫu đều dương) thì phân số bằng 1. Ví dụ: $frac{6}{6} = 1$.
• Ứng dụng: Để so sánh hai phân số, ta có thể so sánh cả hai phân số đó với 1.
  • Ví dụ: So sánh $frac{3}{4}$ và $frac{5}{2}$.
    • Ta thấy $frac{3}{4} < 1$ (vì $3 < 4$).
    • Ta thấy $frac{5}{2} > 1$ (vì $5 > 2$).
    • Vậy $frac{3}{4} < frac{5}{2}$.

4. So sánh phân số qua phân số trung gian

• Quy tắc: Chọn một phân số thứ ba (phân số trung gian) để làm cầu nối so sánh.
  • Nếu $frac{A}{B} < frac{M}{N}$ và $frac{M}{N} < frac{C}{D}$ thì $frac{A}{B} < frac{C}{D}$.
• Cách chọn phân số trung gian:
  • Phân số 0 hoặc 1: Như phần 3 đã đề cập.
  • Phân số có tử số hoặc mẫu số chung: Tìm một phân số mà bạn có thể dễ dàng so sánh với cả hai phân số cần so sánh.
• Ví dụ: So sánh $frac{13}{15}$ và $frac{17}{14}$.
  • Ta thấy $frac{13}{15} < 1$ (vì $13 < 15$).
  • Ta thấy $frac{17}{14} > 1$ (vì $17 > 14$).
  • Vậy $frac{13}{15} < frac{17}{14}$ (qua phân số trung gian là 1).

5. So sánh phân số bằng phần bù, phần hơn

• Phần bù đến 1: Là hiệu của 1 trừ đi phân số đó. Ví dụ: Phần bù của $frac{3}{5}$ là $1 – frac{3}{5} = frac{2}{5}$.
• Quy tắc (dùng phần bù): Nếu hai phân số đều nhỏ hơn 1, phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì lớn hơn.
  • Ví dụ: So sánh $frac{7}{8}$ và $frac{9}{10}$.
    • Phần bù của $frac{7}{8}$ là $1 – frac{7}{8} = frac{1}{8}$.
    • Phần bù của $frac{9}{10}$ là $1 – frac{9}{10} = frac{1}{10}$.
    • Vì $frac{1}{8} > frac{1}{10}$ (cùng tử, mẫu bé hơn thì lớn hơn), nên $frac{7}{8} < frac{9}{10}$. (Phần bù lớn hơn thì phân số gốc nhỏ hơn).
• Phần hơn so với 1: Là hiệu của phân số đó trừ đi 1.
• Quy tắc (dùng phần hơn): Nếu hai phân số đều lớn hơn 1, phân số nào có phần hơn nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
  • Ví dụ: So sánh $frac{5}{4}$ và $frac{7}{6}$.
    • Phần hơn của $frac{5}{4}$ là $frac{5}{4} – 1 = frac{1}{4}$.
    • Phần hơn của $frac{7}{6}$ là $frac{7}{6} – 1 = frac{1}{6}$.
    • Vì $frac{1}{4} > frac{1}{6}$ (cùng tử, mẫu bé hơn thì lớn hơn), nên $frac{5}{4} > frac{7}{6}$. (Phần hơn lớn hơn thì phân số gốc lớn hơn).

6. Khái niệm phân số âm và phân số dương

• Phân số dương: Là phân số có tử số và mẫu số cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm). Ví dụ: $frac{2}{3}$, $frac{-1}{-5}$.
• Phân số âm: Là phân số có tử số và mẫu số khác dấu. Ví dụ: $frac{-2}{3}$, $frac{1}{-5}$.
• Quy tắc: Mọi phân số âm đều nhỏ hơn 0 và nhỏ hơn mọi phân số dương. Mọi phân số dương đều lớn hơn 0 và lớn hơn mọi phân số âm.

II. Các Dạng Bài Tập So Sánh Phân Số Lớp 6 Thường Gặp

Trong chương trình Toán 6, các bài tập so sánh phân số được phân loại dựa trên đặc điểm của các phân số cần so sánh và yêu cầu của đề bài.

Dạng 1: So sánh các phân số cùng mẫu

Bài toán 1: So sánh từng cặp phân số cùng mẫu

• Phương pháp giải:
  • Bước 1: Đảm bảo mẫu số là số dương. Nếu mẫu số âm, chuyển phân số về dạng có mẫu số dương (ví dụ: $frac{a}{-b} = frac{-a}{b}$).
  • Bước 2: So sánh các tử số. Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
• Ví dụ: So sánh $frac{5}{11}$ và $frac{2}{11}$.
  • Vì $5 > 2$ nên $frac{5}{11} > frac{2}{11}$.

Bài toán 2: Sắp xếp các phân số cùng mẫu theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần

• Phương pháp giải:
  • Bước 1: Đảm bảo tất cả các phân số có mẫu số dương.
  • Bước 2: So sánh các tử số của chúng.
  • Bước 3: Sắp xếp các phân số theo thứ tự yêu cầu (tăng dần tương ứng với tử số tăng dần, giảm dần tương ứng với tử số giảm dần).
• Ví dụ: Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần: $frac{7}{13}, frac{2}{13}, frac{11}{13}, frac{5}{13}$.
  • Vì $2 < 5 < 7 < 11$, nên thứ tự tăng dần là: $frac{2}{13}, frac{5}{13}, frac{7}{13}, frac{11}{13}$.

Dạng 2: So sánh các phân số không cùng mẫu

Đây là dạng dạng toán so sánh phân số lớp 6 phổ biến nhất, đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học.

Cách 1: Quy đồng mẫu số (phương pháp cơ bản nhất)

• Phương pháp: Thực hiện các bước quy đồng mẫu số như đã nêu ở mục I.2.a.
• Ví dụ: So sánh $frac{3}{5}$ và $frac{4}{7}$.
  • Mẫu chung: $5 times 7 = 35$.
  • $frac{3}{5} = frac{3 times 7}{5 times 7} = frac{21}{35}$.
  • $frac{4}{7} = frac{4 times 5}{7 times 5} = frac{20}{35}$.
  • Vì $frac{21}{35} > frac{20}{35}$ nên $frac{3}{5} > frac{4}{7}$.

Cách 2: Quy đồng tử số

• Phương pháp: Thực hiện các bước quy đồng tử số như đã nêu ở mục I.2.b. Thường dùng khi tử số của các phân số có BCNN nhỏ.
• Ví dụ: So sánh $frac{2}{7}$ và $frac{3}{10}$.
  • Tử chung: BCNN của 2 và 3 là 6.
  • $frac{2}{7} = frac{2 times 3}{7 times 3} = frac{6}{21}$.
  • $frac{3}{10} = frac{3 times 2}{10 times 2} = frac{6}{20}$.
  • Vì $21 > 20$ nên $frac{6}{21} < frac{6}{20}$, vậy $frac{2}{7} < frac{3}{10}$.

Cách 3: So sánh với số 1

• Phương pháp: Sử dụng quy tắc so sánh với 1 như đã trình bày ở mục I.3. Hiệu quả khi một phân số nhỏ hơn 1 và phân số kia lớn hơn 1.
• Ví dụ: So sánh $frac{10}{11}$ và $frac{12}{11}$.
  • $frac{10}{11} < 1$.
  • $frac{12}{11} > 1$.
  • Vậy $frac{10}{11} < frac{12}{11}$.

Cách 4: Sử dụng phân số trung gian

• Phương pháp: Chọn một phân số thứ ba để làm trung gian so sánh (mục I.4).
• Ví dụ: So sánh $frac{1}{2018}$ và $frac{2}{2019}$.
  • Chọn phân số trung gian: $frac{1}{2019}$.
  • Ta có $frac{1}{2018} > frac{1}{2019}$ (cùng tử, mẫu bé hơn thì lớn hơn).
  • Lại có $frac{1}{2019} < frac{2}{2019}$.
  • Vậy $frac{1}{2018} > frac{2}{2019}$ (qua trung gian $frac{1}{2019}$).

Cách 5: Sử dụng phần bù, phần hơn

• Phương pháp: Tính phần bù đến 1 hoặc phần hơn so với 1 cho từng phân số (mục I.5). Thường dùng khi cả hai phân số đều gần bằng 1.
• Ví dụ: So sánh $frac{2020}{2021}$ và $frac{2021}{2022}$.
  • Phần bù của $frac{2020}{2021}$ là $1 – frac{2020}{2021} = frac{1}{2021}$.
  • Phần bù của $frac{2021}{2022}$ là $1 – frac{2021}{2022} = frac{1}{2022}$.
  • Vì $frac{1}{2021} > frac{1}{2022}$ (cùng tử, mẫu bé hơn thì lớn hơn), nên $frac{2020}{2021} < frac{2021}{2022}$.

Dạng 3: Các phương pháp khác hỗ trợ so sánh

Rút gọn phân số

• Trước khi so sánh, luôn nên rút gọn các phân số về dạng tối giản (nếu có thể) để việc tính toán trở nên đơn giản hơn.
• Ví dụ: So sánh $frac{6}{10}$ và $frac{9}{15}$.
  • $frac{6}{10} = frac{3}{5}$.
  • $frac{9}{15} = frac{3}{5}$.
  • Vậy $frac{6}{10} = frac{9}{15}$.

III. Bài Tập So Sánh Phân Số Lớp 6 Có Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết

Dưới đây là một số bài tập so sánh phân số có đáp án lớp 6 giúp các em luyện tập và củng cố kiến thức. Để có đầy đủ hệ thống bài tập và lời giải chi tiết theo từng dạng, mời các em tải tài liệu đầy đủ của lvt.edu.vn.

Bài 1: So sánh các cặp phân số sau:a) $frac{7}{12}$ và $frac{5}{12}$b) $frac{-3}{8}$ và $frac{5}{-8}$c) $frac{2}{5}$ và $frac{3}{7}$d) $frac{11}{10}$ và $frac{9}{8}$

Lời giải chi tiết:a) So sánh $frac{7}{12}$ và $frac{5}{12}$: Vì hai phân số này cùng mẫu dương, ta so sánh tử số. Ta thấy $7 > 5$. Vậy $frac{7}{12} > frac{5}{12}$.

b) So sánh $frac{-3}{8}$ và $frac{5}{-8}$: Đầu tiên, chuyển phân số $frac{5}{-8}$ về mẫu dương: $frac{5}{-8} = frac{-5}{8}$. Bây giờ ta so sánh $frac{-3}{8}$ và $frac{-5}{8}$. Vì hai phân số này cùng mẫu dương, ta so sánh tử số. Ta thấy $-3 > -5$. Vậy $frac{-3}{8} > frac{-5}{8}$, hay $frac{-3}{8} > frac{5}{-8}$.

c) So sánh $frac{2}{5}$ và $frac{3}{7}$: Sử dụng phương pháp quy đồng mẫu số. Mẫu chung nhỏ nhất của 5 và 7 là 35. $frac{2}{5} = frac{2 times 7}{5 times 7} = frac{14}{35}$. $frac{3}{7} = frac{3 times 5}{7 times 5} = frac{15}{35}$. Vì $frac{14}{35} < frac{15}{35}$. Vậy $frac{2}{5} < frac{3}{7}$.

d) So sánh $frac{11}{10}$ và $frac{9}{8}$: Sử dụng phương pháp phần hơn so với 1. Phần hơn của $frac{11}{10}$ là $frac{11}{10} – 1 = frac{1}{10}$. Phần hơn của $frac{9}{8}$ là $frac{9}{8} – 1 = frac{1}{8}$. Ta so sánh $frac{1}{10}$ và $frac{1}{8}$. Vì tử số bằng nhau, mẫu số $10 > 8$ nên $frac{1}{10} < frac{1}{8}$. Phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. Vậy $frac{11}{10} < frac{9}{8}$.

Bài 2 (Bài tập sắp xếp thứ tự phân số lớp 6): Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần: $frac{1}{2}, frac{2}{3}, frac{3}{4}, frac{4}{5}$.

Lời giải chi tiết:Đây là các phân số đều nhỏ hơn 1 và có tử số kém mẫu số 1 đơn vị. Ta sử dụng phương pháp phần bù đến 1.Phần bù của $frac{1}{2}$ là $1 – frac{1}{2} = frac{1}{2}$.Phần bù của $frac{2}{3}$ là $1 – frac{2}{3} = frac{1}{3}$.Phần bù của $frac{3}{4}$ là $1 – frac{3}{4} = frac{1}{4}$.Phần bù của $frac{4}{5}$ là $1 – frac{4}{5} = frac{1}{5}$.

Ta so sánh các phần bù: $frac{1}{2}, frac{1}{3}, frac{1}{4}, frac{1}{5}$.Vì $2 < 3 < 4 < 5$, nên $frac{1}{2} > frac{1}{3} > frac{1}{4} > frac{1}{5}$.Phân số nào có phần bù nhỏ hơn thì lớn hơn.Vậy, thứ tự giảm dần của các phân số là: $frac{4}{5}, frac{3}{4}, frac{2}{3}, frac{1}{2}$.

Kết Luận

So sánh phân số là một kỹ năng toán học cơ bản nhưng vô cùng quan trọng đối với học sinh lớp 6. Việc nắm vững các quy tắc, biết linh hoạt vận dụng các phương pháp (quy đồng mẫu, quy đồng tử, so sánh với số 1, sử dụng phân số trung gian, phần bù/phần hơn) sẽ giúp các em giải quyết các bài tập so sánh phân số lớp 6 một cách nhanh chóng và chính xác. Luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập so sánh phân số toán 6 đa dạng sẽ củng cố kiến thức và phát triển tư duy toán học cho các em.