Hướng Dẫn Toàn Diện: Chứng Minh Phân Số Tối Giản Lớp 6 (Kèm Bài Tập Chi Tiết)

Phân số tối giản là gì? Nhắc lại kiến thức trọng tâm

Trước khi đi sâu vào cách chứng minh phân số tối giản lớp 6, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm cơ bản về nó.

Định nghĩa:

Một phân số được gọi là phân số tối giản (hay còn gọi là phân số không rút gọn được nữa) nếu ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số bằng 1. Nói cách khác, tử số và mẫu số là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ:

• Phân số (frac{2}{3}) là phân số tối giản vì ƯCLN(2, 3) = 1.
• Phân số (frac{4}{6}) không phải là phân số tối giản vì ƯCLN(4, 6) = 2 (có thể rút gọn thành (frac{2}{3})).

Ký hiệu:

Giả sử ta có phân số (frac{a}{b}) (với (b neq 0)). Phân số (frac{a}{b}) được gọi là phân số tối giản khi và chỉ khi:

(ƯCLN(a, b) = 1)

Việc nắm vững định nghĩa này là chìa khóa để tiếp cận các bài toán chứng minh phân số tối giản.

Phương pháp chứng minh phân số tối giản lớp 6 chi tiết

Để chứng minh một phân số là phân số tối giản trong chương trình Toán lớp 6, chúng ta thường sử dụng phương pháp tìm Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số. Mục tiêu là chứng tỏ rằng ƯCLN đó bằng 1. Đây là phương pháp chứng minh phân số tối giản lớp 6 phổ biến nhất và hiệu quả nhất.

Các bước thực hiện như sau:

• Bước 1: Gọi (d) là Ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số.
  • Giả sử phân số cần chứng minh là (frac{A}{B}).
  • Gọi (d = ƯCLN(A, B)).
  • Theo định nghĩa của ƯCLN, nếu (d) là ước chung của (A) và (B), thì (A) phải chia hết cho (d) ((A vdots d)) và (B) phải chia hết cho (d) ((B vdots d)).
• Bước 2: Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh (d = 1).
  • Đây là bước quan trọng nhất và đòi hỏi sự linh hoạt trong việc áp dụng các tính chất chia hết.
  • Nếu (A vdots d) và (B vdots d), thì mọi tổ hợp tuyến tính của (A) và (B) cũng sẽ chia hết cho (d). Cụ thể:
    • ((A pm B) vdots d)
    • ((k cdot A pm l cdot B) vdots d) (với (k, l) là các số nguyên thích hợp)
  • Mục tiêu là thông qua các phép biến đổi, chúng ta sẽ đưa về dạng: “một số cụ thể (khác 0) chia hết cho (d)“. Từ đó, (d) phải là ước của số đó.
  • Cố gắng biến đổi để thu được một phép trừ hoặc phép cộng mà kết quả là một số nguyên dương nhỏ nhất có thể, lý tưởng nhất là 1.
  • Nếu ta chứng minh được rằng (1 vdots d), thì điều này chỉ có thể xảy ra khi (d = 1) (vì (d) là ƯCLN nên (d) luôn là số nguyên dương).
• Bước 3: Kết luận.
  • Khi đã chứng minh được (d = 1), ta kết luận rằng ƯCLN của tử số và mẫu số bằng 1.
  • Do đó, phân số đã cho là phân số tối giản (điều phải chứng minh – đpcm).

Phương pháp này được áp dụng cho hầu hết các bài toán chứng minh một phân số là tối giản lớp 6.

Các dạng bài tập chứng minh phân số tối giản lớp 6 thường gặp

Trong chương trình Toán lớp 6, các dạng toán chứng minh phân số tối giản lớp 6 chủ yếu xoay quanh việc chứng minh các phân số có tử và mẫu là biểu thức chứa biến (n) (số tự nhiên). Các dạng phổ biến bao gồm:

1. Dạng 1: Phân số có tử và mẫu là hai số tự nhiên liên tiếp (hoặc cách nhau một khoảng cố định nhỏ).
   • Ví dụ: (frac{n}{n+1}), (frac{n+5}{n+6}).
   • Phương pháp: Áp dụng tính chất ((n+k) – n = k), từ đó suy ra (d) là ước của (k). Nếu (k=1), bài toán sẽ trở nên rất đơn giản.
2. Dạng 2: Phân số có tử và mẫu là các biểu thức tuyến tính của (n) (dạng (frac{an+b}{cn+d})).
   • Ví dụ: (frac{2n+7}{3n+10}), (frac{2n+3}{4n+4}).
   • Phương pháp: Để loại bỏ biến (n), ta nhân tử số và mẫu số với các hệ số thích hợp để tạo ra hai biểu thức có phần chứa (n) giống nhau, sau đó thực hiện phép trừ. Mục tiêu là làm cho hiệu đó là một hằng số.
3. Dạng 3: Các trường hợp đặc biệt liên quan đến tính chẵn lẻ hoặc các ước số khác.
   • Ví dụ: Phân số có tử là số lẻ và mẫu là số chẵn, và chúng ta cần chứng minh ƯCLN là 1 (chẳng hạn, ƯCLN không thể là 2).

Việc luyện tập qua các ví dụ cụ thể sẽ giúp các em nắm vững cách chứng minh phân số tối giản lớp 6 một cách hiệu quả nhất.

Bài tập vận dụng (có lời giải chi tiết)

Dưới đây là một số bài tập chứng minh phân số tối giản lớp 6 điển hình cùng lời giải chi tiết, giúp các em học sinh dễ dàng theo dõi và tự học. Đây là những ví dụ minh họa cho hướng dẫn chứng minh phân số tối giản lớp 6 mà chúng tôi đã trình bày.

---

Bài tập 1: Chứng minh phân số (frac{n+5}{n+6}) là phân số tối giản với (n in mathbb{N}).

Lời giải chi tiết:

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp gọi (d) là ƯCLN của tử và mẫu.

1. Bước 1: Gọi (d = ƯCLN(n+5, n+6)).
   • Theo định nghĩa của ƯCLN, vì (d) là ước chung của (n+5) và (n+6), nên ta có:
     • ((n+5) vdots d)
     • ((n+6) vdots d)
2. Bước 2: Chứng minh (d = 1).
   • Vì cả ((n+5)) và ((n+6)) đều chia hết cho (d), nên hiệu của chúng cũng phải chia hết cho (d).
   • Ta lấy biểu thức lớn hơn trừ đi biểu thức nhỏ hơn:
     • ((n+6) – (n+5) vdots d)
     • (n + 6 – n – 5 vdots d)
     • (1 vdots d)
   • Một số nguyên dương (d) mà 1 chia hết cho (d) thì chỉ có thể là (d=1).
3. Bước 3: Kết luận.
   • Vì (ƯCLN(n+5, n+6) = 1), nên phân số (frac{n+5}{n+6}) là phân số tối giản.
   • (Điều phải chứng minh – đpcm)

---

Bài tập 2: Chứng minh phân số (frac{2n+7}{3n+10}) là phân số tối giản với (n in mathbb{N}).

Lời giải chi tiết:

Đây là dạng (frac{an+b}{cn+d}). Chúng ta cần nhân tử số và mẫu số với các hệ số thích hợp để loại bỏ (n) khi trừ.

1. Bước 1: Gọi (d = ƯCLN(2n+7, 3n+10)).
   • Theo định nghĩa của ƯCLN, ta có:
     • ((2n+7) vdots d)
     • ((3n+10) vdots d)
2. Bước 2: Chứng minh (d = 1).
   • Để loại bỏ (n), ta tìm bội chung nhỏ nhất của 2 và 3 (là 6).
   • Nhân biểu thức thứ nhất với 3 và biểu thức thứ hai với 2:
     • (3 cdot (2n+7) vdots d implies (6n+21) vdots d)
     • (2 cdot (3n+10) vdots d implies (6n+20) vdots d)
   • Vì cả ((6n+21)) và ((6n+20)) đều chia hết cho (d), nên hiệu của chúng cũng phải chia hết cho (d):
     • ((6n+21) – (6n+20) vdots d)
     • (6n + 21 – 6n – 20 vdots d)
     • (1 vdots d)
   • Điều này chỉ xảy ra khi (d=1).
3. Bước 3: Kết luận.
   • Vì (ƯCLN(2n+7, 3n+10) = 1), nên phân số (frac{2n+7}{3n+10}) là phân số tối giản.
   • (Điều phải chứng minh – đpcm)

---

Bài tập 3: Chứng minh phân số (frac{2n+3}{4n+4}) là phân số tối giản với (n in mathbb{N}).

Lời giải chi tiết:

Bài này có một điểm đặc biệt cần lưu ý về tính chẵn lẻ.

1. Bước 1: Gọi (d = ƯCLN(2n+3, 4n+4)).
   • Theo định nghĩa của ƯCLN, ta có:
     • ((2n+3) vdots d)
     • ((4n+4) vdots d)
2. Bước 2: Chứng minh (d = 1).
   • Ta nhân tử số với 2 để có hệ số của (n) giống với mẫu số:
     • (2 cdot (2n+3) vdots d implies (4n+6) vdots d)
   • Bây giờ ta có hai biểu thức cùng chia hết cho (d): ((4n+6)) và ((4n+4)).
   • Lấy hiệu của chúng:
     • ((4n+6) – (4n+4) vdots d)
     • (4n + 6 – 4n – 4 vdots d)
     • (2 vdots d)
   • Điều này có nghĩa là (d) là một ước của 2. Vậy (d) có thể là 1 hoặc 2.
   • Tuy nhiên, chúng ta cần kiểm tra thêm điều kiện.
   • Xét tử số ((2n+3)): Với mọi số tự nhiên (n), (2n) là một số chẵn. Do đó, (2n+3) luôn là một số lẻ.
   • Vì ((2n+3) vdots d), mà ((2n+3)) là số lẻ, nên (d) không thể là số chẵn.
   • Từ (d in {1, 2}) và (d) không thể là 2 (vì (2n+3) là số lẻ), suy ra (d) bắt buộc phải là 1.
3. Bước 3: Kết luận.
   • Vì (ƯCLN(2n+3, 4n+4) = 1), nên phân số (frac{2n+3}{4n+4}) là phân số tối giản.
   • (Điều phải chứng minh – đpcm)

---

Bài tập 4: Chứng minh phân số (frac{3n+1}{4n+1}) là phân số tối giản với (n in mathbb{N}).

Lời giải chi tiết:

1. Bước 1: Gọi (d = ƯCLN(3n+1, 4n+1)).
   • Ta có:
     • ((3n+1) vdots d)
     • ((4n+1) vdots d)
2. Bước 2: Chứng minh (d = 1).
   • Để loại bỏ (n), ta tìm bội chung nhỏ nhất của 3 và 4 (là 12).
   • Nhân biểu thức thứ nhất với 4 và biểu thức thứ hai với 3:
     • (4 cdot (3n+1) vdots d implies (12n+4) vdots d)
     • (3 cdot (4n+1) vdots d implies (12n+3) vdots d)
   • Lấy hiệu của hai biểu thức này:
     • ((12n+4) – (12n+3) vdots d)
     • (12n + 4 – 12n – 3 vdots d)
     • (1 vdots d)
   • Chỉ khi (d=1) thì (1) mới chia hết cho (d).
3. Bước 3: Kết luận.
   • Vì (ƯCLN(3n+1, 4n+1) = 1), nên phân số (frac{3n+1}{4n+1}) là phân số tối giản.
   • (Điều phải chứng minh – đpcm)

Qua các ví dụ trên, các em có thể thấy rõ quy trình và cách áp dụng linh hoạt các tính chất chia hết để chứng tỏ phân số tối giản lớp 6.