Tính Tổng Dãy Số Có Quy Luật Lớp 6: Công Thức, Dạng Bài Tập & Lời Giải Chi Tiết

Tính Tổng Dãy Số Có Quy Luật Lớp 6: Công Thức & Bài Tập

Trong chương trình Toán học lớp 6, việc nắm vững các phương pháp tính tổng dãy số có quy luật lớp 6 là một kỹ năng nền tảng quan trọng, không chỉ giúp các em giải quyết tốt các bài toán trong sách giáo khoa mà còn là chìa khóa để chinh phục các đề thi học sinh giỏi. Dạng toán này đòi hỏi khả năng quan sát, phân tích để tìm ra quy luật, sau đó vận dụng công thức một cách linh hoạt. Bài viết này của lvt.edu.vn sẽ cung cấp một hướng dẫn toàn diện, từ các công thức lý thuyết cơ bản đến các dạng bài tập nâng cao kèm lời giải chi tiết, giúp học sinh tự tin làm chủ dạng toán này.

Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khái niệm dãy số có quy luật, các công thức cần thiết và đặc biệt là phân tích sâu vào các dạng bài tập thường gặp, từ dãy số cách đều đến các dãy số có quy luật phức tạp hơn như tổng các tích, tổng phân số có dạng đặc biệt.

1. Lý thuyết cần nắm về dãy số có quy luật

Trước khi đi sâu vào các công thức và bài tập, việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản về dãy số có quy luật là cực kỳ quan trọng.

1.1. Dãy số và quy luật của dãy số

Một dãy số là một tập hợp các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Dãy số có quy luật là dãy mà giữa các số hạng của nó có một mối quan hệ toán học cụ thể, lặp đi lặp lại. Việc tìm ra quy luật này là bước đầu tiên và quan trọng nhất để có thể tính tổng của dãy số.

Ví dụ:

• Dãy số 1, 2, 3, 4, ... có quy luật là số sau lớn hơn số trước 1 đơn vị.
• Dãy số 2, 4, 6, 8, ... có quy luật là các số chẵn liên tiếp, số sau lớn hơn số trước 2 đơn vị.
• Dãy số 1, 4, 9, 16, ... có quy luật là các số chính phương liên tiếp (1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...).

1.2. Các khái niệm cơ bản trong dãy số cách đều

Dãy số cách đều là loại dãy số phổ biến nhất trong các bài toán tính tổng dãy số có quy luật lớp 6. Trong một dãy số cách đều, hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số.

• Số hạng đầu (a1): Là số đầu tiên trong dãy.
• Số hạng cuối (an): Là số cuối cùng trong dãy.
• Khoảng cách (d): Là hiệu giữa hai số hạng liên tiếp. Hay còn gọi là “hiệu không đổi”.
• Số số hạng (n): Là tổng số lượng các số trong dãy.

Ví dụ: Dãy số 3, 6, 9, ..., 30

• Số hạng đầu (a1) = 3
• Số hạng cuối (an) = 30
• Khoảng cách (d) = 6 – 3 = 3

2. Công thức tính tổng dãy số có quy luật lớp 6

Để tìm tổng của dãy số có quy luật lớp 6, đặc biệt là dãy số cách đều, chúng ta có hai công thức cơ bản và cực kỳ hữu ích.

2.1. Công thức tính số số hạng

Để biết một dãy số có bao nhiêu số hạng, ta sử dụng công thức sau:

$n = frac{an – a1}{d} + 1$

Trong đó:

• $n$: Số số hạng
• $an$: Số hạng cuối
• $a1$: Số hạng đầu
• $d$: Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp

Ví dụ: Dãy số 5, 10, 15, ..., 100

• $a1 = 5$
• $an = 100$
• $d = 10 – 5 = 5$
• Số số hạng: $n = frac{100 – 5}{5} + 1 = frac{95}{5} + 1 = 19 + 1 = 20$ (số hạng)

2.2. Công thức tính tổng dãy số cách đều

Đây là công thức tính tổng dãy số cách đều toán 6 mà các em sẽ sử dụng rất thường xuyên:

$S = frac{(a1 + an) times n}{2}$

Trong đó:

• $S$: Tổng của dãy số
• $a1$: Số hạng đầu
• $an$: Số hạng cuối
• $n$: Số số hạng (đã tính ở bước trên)

Ví dụ: Tính tổng dãy số 5, 10, 15, ..., 100

Từ ví dụ trên, ta có $a1 = 5$, $an = 100$, $n = 20$.

• Tổng $S = frac{(5 + 100) times 20}{2} = frac{105 times 20}{2} = 105 times 10 = 1050$.

3. Các dạng bài tập tính tổng dãy số có quy luật lớp 6 (kèm lời giải)

Dưới đây là các dạng toán tính tổng dãy số có quy luật lớp 6 phổ biến, kèm theo ví dụ minh họa và lời giải chi tiết để các em dễ dàng nắm bắt.

3.1. Dạng 1: Tính tổng dãy số cách đều

Đây là dạng cơ bản nhất, áp dụng trực tiếp hai công thức đã học. Các bài toán dạng này thường yêu cầu tính tổng các số hạng theo quy luật lớp 6 đơn giản.

Ví dụ 1: Tính tổng $A = 1 + 2 + 3 + … + 100$.

• Phân tích: Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 1.
• Lời giải:
  • Số hạng đầu ($a1$) = 1
  • Số hạng cuối ($an$) = 100
  • Khoảng cách ($d$) = 1
  • Số số hạng ($n$) = $frac{100 – 1}{1} + 1 = 99 + 1 = 100$ (số hạng)
  • Tổng $A = frac{(1 + 100) times 100}{2} = frac{101 times 100}{2} = 101 times 50 = 5050$.
• Đáp số: 5050

Ví dụ 2: Tính tổng $B = 7 + 10 + 13 + … + 70$.

• Phân tích: Dãy số cách đều, khoảng cách là 3.
• Lời giải:
  • Số hạng đầu ($a1$) = 7
  • Số hạng cuối ($an$) = 70
  • Khoảng cách ($d$) = 10 – 7 = 3
  • Số số hạng ($n$) = $frac{70 – 7}{3} + 1 = frac{63}{3} + 1 = 21 + 1 = 22$ (số hạng)
  • Tổng $B = frac{(7 + 70) times 22}{2} = frac{77 times 22}{2} = 77 times 11 = 847$.
• Đáp số: 847

3.2. Dạng 2: Tính tổng dãy số có quy luật phức tạp hơn

Dạng này yêu cầu các em không chỉ vận dụng công thức mà còn phải có khả năng biến đổi, tách số hạng để đưa về dạng quen thuộc hoặc sử dụng phương pháp triệt tiêu. Đây là các bài tập tính tổng dãy số có quy luật lớp 6 thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi.

3.2.1. Dạng tổng các tích của hai số tự nhiên liên tiếp: $S = 1.2 + 2.3 + … + n(n+1)$

Để tính tổng dạng này, chúng ta sử dụng phương pháp “nhân với 3” (hoặc một số thích hợp để tạo sự triệt tiêu).

Công thức tổng quát: $1.2 + 2.3 + … + n(n+1) = frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

Ví dụ 3: Tính tổng $C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100$.

• Phân tích: Dãy tổng các tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
• Lời giải:
  • Ta gọi $C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100$.
  • Nhân cả hai vế với 3: $3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3$
  • Viết lại mỗi số hạng dưới dạng hiệu: $2.3 = 3.(2+1) – 1.2$ (không trực tiếp) Mỗi số hạng $k(k+1).3$ có thể viết thành $k(k+1)(k+2 – (k-1)) = k(k+1)(k+2) – (k-1)k(k+1)$. $3C = 1.2.(3-0) + 2.3.(4-1) + 3.4.(5-2) + … + 99.100.(101-98)$ $3C = (1.2.3 – 0.1.2) + (2.3.4 – 1.2.3) + (3.4.5 – 2.3.4) + … + (99.100.101 – 98.99.100)$
  • Đây là tổng dạng “cấp số nhân lùi”. Các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
  • Khi cộng lại, chỉ còn lại số hạng cuối cùng: $3C = 99.100.101$
  • $C = frac{99.100.101}{3} = 33.100.101 = 3300.101 = 333300$.
• Đáp số: 333300

3.2.2. Dạng tổng các phân số có tử số là 1 và mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp: $S = frac{1}{1.2} + frac{1}{2.3} + … + frac{1}{n(n+1)}$

Để giải dạng này, chúng ta sử dụng kỹ thuật tách phân số: $frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} – frac{1}{n+1}$.

Ví dụ 4: Tính tổng $D = frac{1}{1.2} + frac{1}{2.3} + frac{1}{3.4} + … + frac{1}{99.100}$.

• Phân tích: Dãy tổng các phân số có quy luật.
• Lời giải:
  • Tách mỗi số hạng: $frac{1}{1.2} = 1 – frac{1}{2}$ $frac{1}{2.3} = frac{1}{2} – frac{1}{3}$ $frac{1}{3.4} = frac{1}{3} – frac{1}{4}$ … $frac{1}{99.100} = frac{1}{99} – frac{1}{100}$
  • Cộng tất cả các số hạng lại: $D = (1 – frac{1}{2}) + (frac{1}{2} – frac{1}{3}) + (frac{1}{3} – frac{1}{4}) + … + (frac{1}{99} – frac{1}{100})$
  • Các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau (ví dụ: $-frac{1}{2}$ và $+frac{1}{2}$ triệt tiêu).
  • Vậy, $D = 1 – frac{1}{100} = frac{100 – 1}{100} = frac{99}{100}$.
• Đáp số: $frac{99}{100}$

3.2.3. Dạng tổng các lũy thừa (cần biến đổi đặc biệt)

Một số dạng tổng lũy thừa có thể xuất hiện, dù ít phổ biến hơn dạng tích/phân số ở lớp 6. Ví dụ: Tổng các lũy thừa của 2.

Ví dụ 5: Tính tổng $E = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10}$.

• Phân tích: Dãy số này là một cấp số nhân.
• Lời giải:
  • Gọi $E = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10}$.
  • Nhân cả hai vế với 2 (cơ số của lũy thừa): $2E = 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10} + 2^{11}$
  • Lấy $2E – E$: $2E – E = (2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10} + 2^{11}) – (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{10})$ $E = 2^{11} – 1$
  • $2^{11} = 2048$.
  • $E = 2048 – 1 = 2047$.
• Đáp số: 2047

3.3. Dạng 3: Bài toán tìm quy luật của dãy số rồi tính tổng

Trong dạng này, quy luật của dãy số không được cho rõ ràng mà yêu cầu học sinh phải tự mình phân tích để tìm ra. Đây là một bước quan trọng trong phương pháp tính tổng dãy số có quy luật lớp 6 nâng cao.

Các bước thực hiện:

1. Quan sát: Xem xét vài số hạng đầu tiên của dãy.
2. Xác định mối quan hệ: Tìm hiệu, tích, thương, hoặc mối liên hệ khác giữa các số hạng liền kề.
3. Kiểm tra: Áp dụng quy luật tìm được cho các số hạng tiếp theo để xác nhận.
4. Áp dụng công thức: Sau khi tìm được quy luật (thường là dãy cách đều), áp dụng công thức tính số số hạng và công thức tính tổng.

Ví dụ 6: Tính tổng các số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho 3.

• Phân tích: Đây là một tính tổng dãy số tự nhiên có quy luật lớp 6.
  • Các số tự nhiên có hai chữ số bắt đầu từ 10 và kết thúc ở 99.
  • Số nhỏ nhất có hai chữ số chia hết cho 3 là 12.
  • Số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 3 là 99.
  • Các số này tạo thành một dãy số cách đều với khoảng cách là 3.
• Lời giải:
  • Dãy số cần tính tổng là: 12, 15, 18, ..., 99.
  • Số hạng đầu ($a1$) = 12
  • Số hạng cuối ($an$) = 99
  • Khoảng cách ($d$) = 3
  • Số số hạng ($n$) = $frac{99 – 12}{3} + 1 = frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30$ (số hạng)
  • Tổng $S = frac{(12 + 99) times 30}{2} = frac{111 times 30}{2} = 111 times 15 = 1665$.
• Đáp số: 1665

Ví dụ 7: Cho dãy số 1, 3, 6, 10, 15, .... Tìm số hạng thứ 100 và tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

• Phân tích: Đây là dãy số tam giác, không phải cách đều thông thường. Khoảng cách giữa các số hạng tăng dần: 2, 3, 4, 5,…
  • Số thứ 1: 1
  • Số thứ 2: $1+2 = 3$
  • Số thứ 3: $1+2+3 = 6$
  • Số thứ 4: $1+2+3+4 = 10$
  • Quy luật: Số hạng thứ $n$ của dãy là tổng của $n$ số tự nhiên đầu tiên, tức là $T_n = 1 + 2 + … + n = frac{n(n+1)}{2}$.
• Lời giải:
  • Tìm số hạng thứ 100: Áp dụng công thức $T_n = frac{n(n+1)}{2}$ với $n = 100$. Số hạng thứ 100 là $T_{100} = frac{100(100+1)}{2} = frac{100 times 101}{2} = 50 times 101 = 5050$.
  • Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy: Tổng $S = T_1 + T_2 + … + T_{100} = frac{1(1+1)}{2} + frac{2(2+1)}{2} + … + frac{100(100+1)}{2}$ $S = frac{1}{2} (1.2 + 2.3 + … + 100.101)$ Đây chính là dạng tổng các tích đã xét ở trên (Dạng 2.1). Áp dụng công thức $1.2 + 2.3 + … + n(n+1) = frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ với $n=100$: $S_{tích} = frac{100(100+1)(100+2)}{3} = frac{100 times 101 times 102}{3} = 100 times 101 times 34 = 343400$. Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là $S = frac{1}{2} S_{tích} = frac{1}{2} times 343400 = 171700$.
• Đáp số: Số hạng thứ 100 là 5050. Tổng 100 số hạng đầu tiên là 171700.

Kết luận

Việc thành thạo các kỹ năng tính tổng dãy số có quy luật lớp 6 không chỉ giúp các em học sinh đạt điểm cao trong môn Toán mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng quan sát và giải quyết vấn đề. Từ những dạng cơ bản như tổng dãy số cách đều đến các dạng phức tạp hơn như tổng tích hay tổng phân số, mỗi dạng đều có những phương pháp giải đặc trưng.

Để làm chủ dạng toán này, các em cần nắm vững các công thức, luyện tập thường xuyên thông qua các bài tập tính tổng dãy số có quy luật lớp 6 đa dạng. Hãy luôn kiên nhẫn phân tích quy luật và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học. Chúc các em học tập tốt và đạt được những kết quả cao trong học tập!